| Занятие 4 |
Упражнение 12: Введите в Mathematica общее решение
задачи о колебаниях струны с закреплёнными концами:
Указание 1: Используйте выражение
для решения этой задачи, полученное на практических занятиях.
Указание 2: В разложении U(x, t) по гармоникам собственных
колебаний  используйте только первые 25 гармоник.
Указание 3: Введите сначала конкретные значения функций φ(t) и
ψ(t) и параметров a и l (см. примеры ниже),
затем вычислите массивы A и B, состоящие из амплитудных
коэффициентов A[[n]] и B[[n]] (используйте здесь непосредственное
присвоение и команды Table и NIntegrate, т. е. A = Table[NIntegrate[...]...]),
а затем определите функцию U(x,t) (т. е. U[x, t] = ..).
Постройте решения для следующих частных задач:
| a) |  |
| b) |  |
Постройте графики решений U(x, t), как функций от x в нтервале 0<x<6 для
t = 0.1; 0.5; 1; 1.5; 2.
Графики оформите следующим образом:
| 1) | установите интервал значений по
вертикальной оси от -1 до 1; (используйте опцию PlotRange; просмотрите сначала справочную
информацию по этой опции и другим опциям и директивам, указанным ниже) |
| 2) | Установите цвет графика, например, синий,
и толщину линии, равную 0.01 от общей ширины графика (используйте опцию PlotStyle
и директивы RGBColor и Thickness); |
| 3) | увеличьте общую
ширину графика (испольщуйте опцию ImageStyle). |
Ознакомьтесь со значениями других опций команды Plot (выполните команду Options[Plot]).
Постройте последовательной графиков U(x, t) для t=0.5i, i=0,1.. 12.
Используйте для этого команду Table (т. е. Table[Plot[...]...]).
Вы должны получить 13 графиков, представляющих форму струны в моменты времени t=0; 0.5; 1; 1.5; 2; ...; 6.
Серните полученную группу графических ячеек, чтоб на экране остался только первый из этих графиков.
Теперь выполните их анимацию. Для этого выполните двойной щелчок по первой графической ячейке. На экране должно
происходить движение, представляющее собой смену рассчитаных ранее графиков. |
|
| Занятие 5 |
На практических занятиях была рассмотрена задача
о радиально-симметричных колебаниях круглой мембраны:
Её решение было построено с помощью метода разделения переменных в виде
разложения в ряд по гармоникам собственных колебаний.
Используя это выражение,
запишите общее решение задачи с нутевыми начальными скоростями(F(r)=0):
 |
Упражнение 13: Введите полученные формулы в
Mathematica, взяв следующие значения параметров va и функции F(r):
В решении ограничтесь первыми 10 гармониками свободных колебаний.
Указание: Используйте функции Mathematica для расчёта функций
Бесселя и рассчёта её нулей (BesselJZeros). Обратите внимание, что для использования
последней функции необходимо загрузить стандартный пакет Mathematica NumericalMath
`BesselJZeros`, для чего требуется выполнить команду <<NumericalMath`BesselJZeros` (см.
справку и примеры по BesselJZeros).
a) Убедитесь, что введённые выражения позволяют вычислить значение функции U(r, t)
для произвольного r в интервале 0≤r<a и произвольного t>0.
b) Проверьте, что рассчитанные таким образом значения мало отличаются от точных
значений, т. е. от f(r). (Отличие возникает из-за погрешности численных рассчётов и из-за
конечности числа гармоник). Постройте график разности U(r, 0) - f(r).
c) Увеличте число гармоник, и убедитесь, что отличие U(r, 0) от f(r) уменьшается.
Постройте опять график их разности.
d) Так же, как это было сделано в предыдущем занятии (для колебаний струны),
постройте серию двумерных графиков, на которых изобразите U(r, t) как
функцию от r для ряда последовательных моментов времени (например, первый график -
U(r, 0.1), второй - U(r, 0.2) и т. д.), а затем выполните их анимацию.
e) Просмотрите справку по команде SurfaceOfRevolution и постройте с её помощью
трёхмерный график, представляющий круглую мембрану, описываемую функцией U(r, t),
в какой-либо фиксированный момент времени t.
f) Постройте серию таких трёхмерных графиков для ряда последовательных моментов
времени и выполните их анимацию. |
|
На практических занятиях была рассмотрена краевая задача
для уравнения Лапласа в круговой области:
ΔU = 0, 0≤r≤a, 0≤φ≤2π
U(a, φ) = f(φ)
Используйте полученное решение для выполнения следующего задания.
|
|
 |
